일반상대성이론 등가원리 파헤치기!

 

등가원리는 가속도와 관련되어 있는 원리이다. 이 원리를 이해하기 위해 먼저 좌표계라는 개념을 알아야 한다. 여기서 좌표계는 수학에서 말하는 x, y좌표의 좌표가 아니다. 과학에서 말하는 좌표계는 크게 (1) 관성 좌표계와 (2) 가속 좌표계(=비관성 좌표계)로 나뉜다. 관성 좌표계는 정지 또는 등속 직선 운동(속도가 일정한 운동)을 하는 관찰자를 기준으로 정한 좌표계이고, 가속 좌표계는 가속도 운동을 하는 관찰자를 기준으로 정한 좌표계이다. 예를 들어 내가 관찰자라고 하고 내가 그냥 가만히 정지해 있다면 나는 관성 좌표계에 있는 관찰자가 된다. 또한 내가(관찰자) 만약 등속 직선운동을 하고 있다면(=일정한 속도로 달린다면) 이 또한 나는 관성 좌표계에 있는 관찰자이다. 반면, 만약 내가(관찰자) 점점 빠르게 달리는 가속 운동을 하고 있는 상황이라면 나는 비관성 좌표계에 있는 관찰자라고 할 수 있다. 

 

이제 좌표계에 대한 설명을 끝냈으니 관성력에 대해 알아보자. 이 관성력에 대해 이해해야 비로서 등가 원리에 다가갈 수 있다. 관성력이란, 관찰자가 비관성 좌표계에 있을 때(관찰자가 가속 운동을 할 때, 즉 가속도를 가지는 운동을 할 때) 관찰자는 그 가속 운동방향의 반대방향으로 (관찰자의 질량 X 관찰자의 가속도) 만큼의 힘을 받게 된다. 이를 우리는 관성력이라고 한다. 이해를 돕기 위해 관성력이 작용하는 예시를 들어보면 차가 가만히 서있다가 갑자기 출발하면 그 안에 타있는 사람들이 뒤로 몸이 쏠리는 현상이 발생하는데, 이때 이 쏠리게 되는 이유가 사람에게 관성력이 작용하기 때문이다. 이 관성력을 식으로 나타내면 다음과 같다. (-) 부호는 가속도의 방향과 반대 방향임을 나타낸다. 

이제 등가원리를 이해해보자. 등가 원리란 지구에 서 있을 때 지구의 중력에 의해 느끼는 무게와 우주에서 가속도 g로 움직이는 물체 안에 탄 사람이 느끼는 무게는 동일하다는 것이다. 

자 하나하나 살펴보자. 지구의 중력에 의해 우리가 느끼는 무게는 사실 지구가 우리를 당기는 힘인 만유인력으로 볼 수 있다. 뉴턴이 창조한 만유인력식은 다음과 같다. 

이때 G는 하나의 상수값, m1,m2는 각각 물체의 무게, r은 두 물체가 떨어져 있는 거리이다. 이때 중력은 저 m1에 지구의 질량을 집어넣고 r에는 지구의 반지름(지구 중심으로부터 지상에 있는 사람까지의 거리)을 집어넣고 m2에는 사람의 무게를 넣으면 그게 곧 그 사람이 지구에서 느끼는 무게가 되는 것이다. 그리고 우리가 흔히 부르는 중력가속도(g)는 사실 r에는 지구의 반지름 m1에 는 지구의 질량을 집어넣은 다음과 같은 식을 뜻한다. 

그리고 이 g값을 계산해 보면 대략 9.8m/s^2값이 나오게 된다. 따라서 우리가 지구 위에서 우리가 느끼는 중력을 구하는 방법은 우리의 무게 m에 저 g값인 9.8을 곱하면 그게 곧 우리가 느끼는 중력이 된다. 

 

 

자 이제 우리가 무중력 공간에서 어떤 박스에 가둬져 있다고 생각해보자. 이 무중력 공간안에서 갑자기 박스가 위쪽으로 9.8m/s^2의 가속도를 가지고 점점 빨라진다고 해보자. 그렇다면 우리는 관성력의 공식에 의해 우리는 박스의 운동방향의 반대방향인 아래쪽으로 (m X 9.8)의 관성력을 느끼게 된다. 이때 이 값은 지구 위에서 지구의 만유인력에 의해 느끼는 중력인 m X 9.8과 동일하게 되므로 결국 상자 안에 있는 사람은 이게 지구의 중력 때문에 느껴지는 힘인지, 박스가 9.8의 가속도로 빨라져서 생기는 상황인지 모르게 된다. 바로 이 모르겠는 이 상황이 등가 원리인 것이다!