로켓 추진 공식 정리

오늘은 로켓이 일정한 가스를 내뿜으며 추진할때 로켓의 속도를 구하는 공식에 대해 알아보자. 상황은 다음과 같다.

 

처음 v로 일정하게 운동하고 있는 로켓이 추진가스를 발사하며 속도가 vf가 되고 이때 가스의 속력은 v'로 일정, 가스로 인해 바뀌는 m의 량은 델타(세모)m으로 잡는다. 

 

이때 이 로켓이 무중력 공간에서의 운동을 가정한다면 외부의 힘이 0이되면서 다음과 같은 식이 성립하게 된다. 

오른쪽으로 작용하는 힘과 왼쪽으로 작용하는 힘이 같다는 식을 통해 그 두개의 힘이 0이라는 뜻을 나타내는 식이다. 이제 이 식을 d/dt 미분 형식을 통해 표현해 보자.

 

v위에 점이 직혀있는것은 사실 v를 t에 대해서 미분했다는 표현이다. 마찬가지로 m에 점이 찍혀있는것은 m을 t에 대해 미분했다는 것이다. 지금 질량 변화가 일정하게 만들어 지고 있으므로 m을 미분하는것이 가능한 상황이다. 이제 이 식에서 dt를 약분하고 m을 우변으로 넘기면 다음과 같은 식으로 바뀐다.

이때 -는 질량이 감소하는 상황을 나타낸 것이므로 추가되었다. 이제 이 적분인테그랄의 아래끝과 위끝을 이 상황에 맞게 넣어주자. 좌변 아래끝은 vi~vf(처음속도~나중속도), 우변 아래끝과 위끝은 mi~mf(처음질량과 가스가 다 빠진 나중 질량)

 

이 식을 적분형태로 쫙풀면 최종적인 식이 나타나게 되는대 그 식은 다음과 같다. 

 

 

 

vf는 나중속도(가스분사가 다 끝난 후 속도)///vi는 가스분사전 로켓속도///v'은 가스가 분사되는 속도//mi는 처음 질량//mf는 가스 분사후 로켓질량