수학과 관련된 책을 읽으시다 보면 수학자들이 가장 황홀해하는 것이 바로 오일러 방정식이라는 것을 보신 분들이 있을 것 같습니다. 도대체 왜 이것이 그렇게 그들을 황홀하게 하는지 궁금하지 않으신가요? 오늘은 이 식이 무엇을 나타내는지 함께 알아보도록 하겠습니다.
간단 심플하지만 많은 것을 내포한다.
대학교에서 배우는 전공과정의 수많은 식들이 굉장히 길고 복잡한 경우가 상당히 많아 외우기조차 힘든 경우가 많습니다. 하지만 오늘 소개할 오일러 식은 아래 사진에 나오는 것처럼 매우 심플한 것을 알 수 있습니다.
e(자연상수)와 i(허수. 제곱하면 -1이 나오는 가상의 숫자)그리고 원주율파이 이렇게 딱 세 가지의 상수만 가지고 만들어진 것을 보실 수 있습니다. 하지만 이 식 하나로 굉장한 세계가 펼쳐집니다.
굉장히 깔끔해지는 지수함수와 삼각함수 수식들
위에서 보여드린 그림은 사실 아래의 그림에 파이를 대입한 결과값입니다. 코사인 파이는 -1이 되고, 사인 파이는 0이 됩니다. 이를 다 좌변으로 이항 하면 저가 위에서 먼저 제시한 사진과 같은 형태로 식이 되는 것이죠.
이 수식이 어떻게 나왔는지는 오일러 자신의 저서인 "Introductio in analysin infinitorum"에서 확인해 보실 수 있습니다. 이 천재 수학자는 테일러 급수라는 것을 통해서 삼각함수와 지수함수를 묶어내 버린 겁니다. 테일러급수는 쉽게 생각하면 그냥 모든 함수를 다항함수 형태로 나타내는 일종의 급수의 한 종류라고 생각해 주시면 됩니다. 이렇게 테일러급수의 전개를 통해 지수와 삼각함수가 합쳐지는 과정과 이를 통한 지수함수와 삼각함수와의 통합이 수학자들이 볼 땐 너무나 아름다운 것이라고 생각이 드는 것이죠.
이 천재 수학자가 만약 이렇게 지수함수와 삼각함수를 묶어내지 못하였다면 우린 현재 양자역학의 수많은 계산을 정말 귀찮은 과정을 거쳐 진행시켜야 됬을 것입니다. 하지만 저 식 하나를 통해서 귀찮은 과정들을 상당량 생략할 수 있게 됨으로써 양자역학에 큰 공헌을 하였다고 볼 수 있게 되죠.
가장 대표적인 예가 파동함수를 표현하는 삼각함수를 지수로 변환해서 중첩에 대한 식을 표현하는 것입니다. 보통 중첩 수식을 곱하기로 진행하게 되는데, 이 곱하기에 굉장히 편한 지수를 활용하면 머리 아프게 삼각함수로 곱하기를 진행시키지 않아도 되는 거죠. 지수는 곱하기를 할 때 지수끼리의 덧셈, 뺄셈으로 모든 것이 표현 가능하기 때문에 상당히 곱하기와 관련된 수식 전개에 유리한 위치를 선점할 수 있습니다.
오늘은 이렇게 우리 수학자들이 너무나 아름답다고 평가하는 공식에 대해서 알아보았습니다. 좀더 구체적으로 테일러급수나 양자역학 등에 대한 추가 지식을 알고 싶으시다면 아래의 포스팅을 참고해 주시면 좋을 것 같습니다.
양자역학 고전역학 차이점 3가지에 대해 살펴보자!
양자역학 뭔가 굉장히 저세상 이야기 같고 너무 우리 생활과는 동떨어져 있는 학문인 것 같다. 그렇기에 우리에게 친숙한 고전역학과 많은 차이를 지니고 있는 역학 체계이다. 한번 구체적으로
dankookposing.tistory.com
https://darkpgmr.tistory.com/59
테일러 급수의 이해와 활용 (Taylor series)
테일러 급수(Taylor series)에 대한 내용은 이미 인터넷에 좋은 글들이 많습니다. 그럼에도 이렇게 다시 글을 쓰는 이유는 스스로도 애매한 부분이 많기 때문입니다. 그래서 공부하는 셈치고 관련
darkpgmr.tistory.com
댓글